к разделу "Математика"
Тема: Интеграл - 1
Быковцев Олег Александрович Головинская средняя школа, Гомельский район, Республики Беларусь
Основные цели и задачи:
- Рассмотреть задачу о площади криволинейной трапеции.
- Сформулировать понятие интеграла.
- Вывести формулу его вычисления.
- Формирование умений вычисления интегралов от степенной функции.
Ход урока:
Организационный момент .
Сообщаем учащимся задачи урока, его ход.
Анализ контрольной работы .
Объяснение нового материала
Цель : постановка задачи о площади криволинейной трапеции; введение понятия интеграла, вывод формулы его вычисления.
План
Определение криволинейной трапеции.
Фигуру, ограниченную на отрезке [ a ; b ] непрерывной и не меняющей на нём знака функцией f ( x ), осью Ох и прямыми x = a , x = b называют криволинейной трапецией. { Обратить внимание учащихся на примеры криволинейных трапеций. Стр. [4]}
Задача о площади криволинейной трапеции.
Для вычисления площади этой трапеции разобъём отрезок [ a ; b ] на n отрезков и на каждом из них построим прямоугольник. Площадь каждого из них равна произведению высоты на основание f ( x i )? x , где ? x = x i +1 – x i . Площадь всей трапеции равна сумме площадей всех прямоугольников
Sn = f ( x 1 )? x 1 + f ( x 2 )? x 2 + … f ( x n )? x n .
Понятие интеграла.
Но эта формула даёт лишь приближённое значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.
, где ? x 0. Этот предел и называют определённым интегралом и обозначают
f ( x ) – подинтегральная функция, а и b – нижний и верхний пределы интегрирования.
История знака интеграла (Это сообщение делает ученик).
Символ был введён немецким математиком Готфридом Лейбницем в 1686 году. Существует версия о том, что он букву S , используемую для обозначения суммы писал слегка удлинённой. Так постепенно и родился новый символ. Термин интеграл (от латинского integer – целый) был предложен в 1696 году учеником Лейбница – Иоганном Бернулли. Лейбниц, хотя и неохотно согласился с этим.
Формула Ньютона – Лейбница
Теорема . Пусть функция f ( x ) определена и непрерывна на отрезке [ a ; b ], а определённая и непрерывная на отрезке [ a ; b ] функция F ( x ) – одна из её первообразных. Тогда имеет место формула
Доказательство: Так как функция F ( x ) первообразная для функции f ( x ), то имеет место равенство:
где С – некоторая постоянная. Положим в этом равенстве х = а. Учитывая, что
получим С = - F ( a ). Подставляя это выражение получаем
Полагая в ней х = b получим требуемое утверждение.
Эта формула носит название формулы Ньютона –Лейбница. Она позволяет во многих случаях просто вычислять определённый интеграл. Но пользоваться ей лучше в таком виде:
Закрепление нового материала.
Домашнее задание .
Теоретический материал
выучить:
- формулу Ньютона – Лейбница
- понятие определённого интеграла
повторить: - таблицу первообразных
Практический материал
решить : - №
Литература:
- Фихтенгольц М.Г. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Москва, Наука,1970 г.
- Глейзер Г.И. История математики в школе 9-10 классы, Москва, Просвещение,1983г.
- Ананченко К.О., Петровский Г.Н. Алгебра и начала анализа 11, Минск, Народная асвета, 1997г.
- Колмогоров А.Н. Алгебра и начала 10-11, Москва, Просвещение.
к началу статьи
|